함수

 

 

함수(function)의 개념은 17세기에 이르러 독일의 수학자 라이프니츠에 의해 소개되었으며, 함수의 개념과 같은 함수의 표기법은 후일 오일러에 의해 더욱 체계적으로 정립되었다.

 

 

정의 : 두 집합의 관계는 각 집합에 속해 있는원소간의 대응을 통해 발견할 수 있다.

집합 X에서 집합 Y로의 대응은 집합 X의 원소x가 집합 Y의 원소 y에 짝지어진다. 

두 집합 X,Y에서 X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩만 대응될 때, 이 대응 f를 X에서 Y로의 함수라고 한다.

 

표현 : $f$ : X -> Y , $x \in X$가 함수 f에 의해 $y \in Y$로 대응 -> $y = \operatorname{f}(x)$

 

함수 $f$ : X -> Y 에 대하여 f의 정의역을 X, Y를공역이라고 한다. 함수 f의 치역은 정의역 x의 원소에 대응하는 공역 Y의 원소집합이다. 

 

함수의 대응규칙을 $y = \operatorname{f}(x)$의 형태로 나타내서 그래프로 표현이 가능하다. 이때 x를 독립변수, y를 종속변수라한다. $y = \operatorname{f}(x)$의 그래프는 좌표평면에 $y = \operatorname{f}(x)$를 만족하는 해의 순서쌍을 좌표평면의 위에 나타내는 점들의 집합이라한다.

 

전단사함수와 역함수

 

- 함수 $f$ : X -> Y에 대해 함수를 다양하게 분류할 수 있다.

 

• 전사함수 (surjective function) : 공역과 치역이 같은 함수 $y = \operatorname{f}(x)$
• 단사함수 (injective function) : 서로 다른 원소에 대한 함수값들이 서로 다른경우의 함수 $x_1 \neq  x_2 이면$    $\operatorname{f}(x_1) \neq \operatorname{f}(x_2)$ 를 만족하는함수
• 전단사함수 (bijective function) : 전사이면서 단사인 함수이다 우리가 일대일 대응함수라고도 한다.
• 역함수 (inverse function) : 역함수는 오직 전단사함수일 때만 정의될 수 있다.  함수 $f$ : X -> Y가 전단사일 때 f의 역함수$f^{-1} : Y -> X$가 존재한다.  y의 역상 $f^{-1}$은 집합 Y의 원소 y에 대하여 $y = \operatorname{f}(x)$인 x들의 집합을 의미한다.즉 정의역과 치역으로 x,y가 뒤바뀐다고 생각하면 편하다.

 

함수의 연산 시 세 개의 집합 X, Y, Z에 대하여 다음과 같이 주어지는 두 개의 함수가 있을 때

 $f : X -> Y, g: Y -> Z$

$f와 g의 합성함수 g \circ f$ 는 다음과 같이 두 함수를 연결하는 함수이다.

* 합성함수는 교환법칙이 성립하지 않는다.

 

 

우함수 (even function) : 임의의 실수 x에 대해서 $\operatorname{f}(x)$ = $\operatorname{f}(-x)$ 만족하는 함수이다

x = 0인 직선에 대칭을 보이며 즉 y축에 대칭한다. 대개 x의 지수가 짝수일 경우발생한다.

 

기함수 (odd function) 임의의 실수 x에 대해서 $\operatorname{f}(-x)$ = $-\operatorname{f}(x)$를 만족하는 함수로 원점대칭이 특징이며 x의 지수가 홀수 인경우 발생한다.