수학은 인류의 역사와 함께 발전했으며, 과거의 공식과 증명을 통해 현대사회에 기여하면서 발전한다.
당면한 현실적인 문제를 수학적인 논리로 추상화 또는 일반화하여 논리적으로 해결할 수 있도록 한다.
추상화된 문제를 정리 등을 통해 해결하는데 여기서 정리란 다음과 같다.
정리 : "가정 -> 결론 " (P->Q)라는 명제
정리의 증명 : P가 사실이면 Q가 사실임을 보임
대우 명제 : ~Q -> ~P으로 표기하며, Q가 거짓이면 P도 거짓이다
P->Q가 만약 참이라면 P는 Q가 되기 위한 충분조건이며, Q는 P가되기 위한 필요조건이다.
만약 P와Q가 동시에 만족한다면, 필요충분조건이라 한다.
이러한 명제들을 증명하는 방법은 많지만 대표적인 3가지만 알아보자
1. 연역법 : 몇 개의 명제가 옳다는 가정하에 다른 명제가 옳다는 것을 논리적으로 밝히는 방법
2. 귀류법 : 명제의 결론을 부정하여 그 결론이 성립하지 않으면 모순이 발생한다는 것을 보여주는 증명방법
3. 수학적 귀납법 : 자연수에 대한 명제가 모든 자연수에 대해 성립함을 보이는 증명 방법
간단히 증명을 해보자.
* 정수 n이 짝수이면 $n^2$은 짝수이다.
$n = 2k$ (k는 정수)
$n^2$ = $(2k)^2$ = $4k^2$ = $2 * (2k^2)$
$k^2$은 정수이고, 2를 곱하면 짝수이기 때문에 $n^2$은 짝수이다.
역도 증명해보자 $n^2$이 짝수이면 n도 짝수이다.
여기서는 모순증명법을 사용해보자. 모순 증명법은 p-> q에서 q가 참이라고 가정하고, 결론인 q를 부정했을 경우
(p -> ~q) 거짓이 되는 것을 증명하여 원래의 명제인 (p -> q)가 참이라는 것을 증명하는 것이다.
1. $n^2$은 짝수이면 n은 홀수이다를 거짓으로 증명해야 한다. 다음과 같은 수식을 작성한다.
$n^2$ = 2k , n = 2k+1 (k는 정수)
$(2k+1)^2$ = 2k 만족하는 해가 없기 때문에 거짓 따라서 $n^2$이 짝수라면 n도 짝수이다.
그럼 이미 증명된 명제를 가지고 다음 명제도 증명하자
* $\sqrt{2}$는 무리수임을 증명하시오
무리수임을 증명하는 것보다 $\sqrt{2}$를 유리수라 가정하고, 부정을 이용하는 것이 훨씬 쉽다.
유리수 = ${a \over b}$ (a,b는서로소 이며 b$\neq$0)
$\sqrt{2} = {a \over\ b}$
$ 2 = {a^2 \over b^2}$ $a^2 = 2b^2$
이전 증명한 $a^2$이 짝수이면 a도 짝수이다를 이용한다.
a= 2k (k는 정수)
$4k^2$ = $2b^2$, $b^2$ = $2k^2$
따라서 $b^2$은 짝수이며 따라서 b도 짝수이다
그렇기 때문에 a,b는 모두 짝수인데, 초기 조건의 a,b는서로소라는 가정에 모순이 되기때문에 (2라는 공통인자)
따라서 유리수가 아니기때문에 무리수다.
수학적인 귀납법을 사용해보자.
대표적인 1부터 n까지의 합이 다음을 만족함을 증명하자 (n은 자연수)
1+2+... n = $n(n+1) \over 2$
n = 1 일경우 $1(2) \over 2$이기 때문에 만족한다.
n = k+1일경우에도 만족하면 참이다.
$ k(k+1) \over 2$ + (k+1) = $1 \over 2 $k^2 + k + 1
= $1 \over 2$($k^2 + 3k + 2$)
= $1 \over 2$(k+1)(k+2)
따라서 n이 k+1일 경우에도 만족하기 때문에 모든 자연수에 대해성립한다.
실수체계를 살펴보자.
1. 자연수 , 음수 , 0을 포함해 정수라고 한다.
2. 유리수에는 정수와 정수가 아닌 유리수가 있다. 정수가 아닌 유리수에는 유한소수와 순환소수가 존재한다.
3. 유한소수는 딱 떨어지는 소수이며, 순환소수는 0.333333... 과같은 순환소수로 구성된다.
4. 실수에는 $a \over b$ (a,b는 서로소) 분수형태로 표현할 수 있는 수를 유리수라 하고, 순환하지 않는 무한소수가 존재하는데 이걸 무리수라고 합니다.
수로 정의되면 실직선에서 숫자의 위치를 표현할수 있다.
실수의 성질
교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 항등원(어떤수를 곱하거나 더해서 자기자신이되는것) ,역원(어떤수를 더해서 0이되거나 1이되는 수)이 존재한다.
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