함수의 극한

 

자연수의 집합을 정의역, 실수 전체의 집합을 공역으로 하는 함수로서, 수열의 합으로 급수를 정의할 수 있다, 무한급수의 수렴과 발산을 판정하고, 정의역이 실수인 일반적인 함수의 극한과 연속의 개념에 대해서 살펴보자.

 

급수의 수렴 및 발산 

보통 급수의 수렴 및 발산을 이야기할 때 무한급수를 이야기한다.

 

1) $\sum_{k=1}^\infty a_{k}$가 수렴하면 $\lim_{n\to \infty} a_n = 0$이다.

2) 1번의 대우 명제를 보면 $\lim_{n\to \infty} a_n \neq 0$ 이면 $\sum_{k=1}^\infty a_{k}$ 는발산한다.

 

직관적으로 생각해봐도, 지속적으로 더했을 때 0이 아닌 경우는 무한히 커지거나, 작아지기 때문에 수렴할 수 없다.

 

 

1. 양항 급수

 

 - 급수 ${a_n}$의 각항이 $a_n \geq 0$일 때 관련 급수를 양항 급수라 부른다.

 - 양항 급수의 부분합 : $S_n = a_1 + a_2  + ... + a_n$일때 $S_1 \leq S_2 \leq ... \leq S_n \leq S_{n+1}$

 - 수열 $S_n$은 단조증가수열이다.

 

즉 양항급수가 수렴할 필요충분조건은 부분한 수열이 유계인 것. (유계 : 유한한 영영의 집합)

 

판정법

 

1. 비교판정법

 : 더 큰 값의 무한급수가 수렴함을 증명함으로 써 더 작은 값의 무한급수도 수렴함을 증명,

 

2. 적분판정법 

 : 함수 f가 0보다 큰 실수범위에서 정의되고, 0보다 크거나 같으며, 단조 감소일 경우,

$a_n = f(n)$인 수열 {$a_n$}의 무한급수가 수렴할 필요충분조건은

특이적분 $\int_{n=1}^\infty f(x)dx$가 수렴

 

3. p - 급수 판정 법

 : 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$은 p > 1일 때 수렴하고 $p \leq 1$일때 발산

 

4. 비율 판정법

 : 양항급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$에 대하여 비율의 극한 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n + 1}{a_n} = c$가 존재할 때, 다음이 성립한다.

 4-1 ) c <1 이면 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 은 수렴

 4-2 ) c > 1 이면 $\sum_{n=1}^\infty a_n$은 발산

 4-3) c = 1 이면 수렴성을 알수 없음 

 

5. 교대 급수

 : 임의의 k 에 대하여 $a_k \leq a_{k+1}$ 을 만족하는 수열 {$a_n$}을 교대수열이라고하며, 교대수열의 무한급수를 교대급수라고 한다. 단조감소 하는양항수열 $a_n$에 대하여

교대급수 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n$이 수렴할 필요충분조건은 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

 

즉 진동하는 급수중 수렴하는경우이다. 추가적으로 절대수렴급수로 절대값을 씌운 수열이 수렴하면 절대값이 없는 수열도 수렴한다

 

 

함수 극한의 정의

 

 : 함수 y = f(x)에서 x가 a와 다른값을 취하면서 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 b로 한없이 가까이 감

 $\lim_{x \to a}f(x) = b$ 또는 x -> a 일 때 f(x) -> b

 

- 좌극한과 우극한이 같을 때만 극한값이 존재 함

 

 

 

1. 무한급수의 수렴성을 조사하는 방법에는 비교판정법, 비율판정법, 교대급수 정리 등이 있다.
2. 함수의 좌극한과 우극한이 같을 때 극한값이 존재한다.
3. x=a에서 함숫값 f(a)가 정의되고 극한값이 존재하며 함숫값과 극한값이 같을 때 함수 f(x)는 x=a에서 연속이라고 한다.
4. 어떤 함수가 어떤 구간에 속하는 모든 점에서 연속이면, 그 함수를 그 구간에서 연속이라고 한다.
5. 연속함수는 연속성의 성질 때문에 최대·최솟값의 정리와 중간값의 정리가 성립한다.