함수의 극한

자연수의 집합을 정의역, 실수 전체의 집합을 공역으로 하는 함수로서, 수열의 합으로 급수를 정의할 수 있다, 무한급수의 수렴과 발산을 판정하고, 정의역이 실수인 일반적인 함수의 극한과 연속의 개념에 대해서 살펴보자.

급수의 수렴 및 발산

보통 급수의 수렴 및 발산을 이야기할 때 무한급수를 이야기한다.

1) $ \sum_{k=1}^\infty a_{k}$가 수렴하면 $ \lim_{n\to \infty} a_n = 0$이다.

2) 1번의 대우 명제를 보면 $ \lim_{n\to \infty} a_n \neq 0$ 이면 $ \sum_{k=1}^\infty a_{k}$ 는발산한다.

직관적으로 생각해봐도, 지속적으로 더했을 때 0이 아닌 경우는 무한히 커지거나, 작아지기 때문에 수렴할 수 없다.

1. 양항 급수

- 급수 $ {a_n}$의 각항이 $a_n \geq 0$일 때 관련 급수를 양항 급수라 부른다.

- 양항 급수의 부분합 : $S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$일때 $S_1 \leq S_2 \leq ... \leq S_n \leq S_{n+1}$

- 수열 $S_n$은 단조증가수열이다.

즉 양항급수가 수렴할 필요충분조건은 부분한 수열이 유계인 것. (유계 : 유한한 영영의 집합)

판정법

1. 비교판정법

: 더 큰 값의 무한급수가 수렴함을 증명함으로 써 더 작은 값의 무한급수도 수렴함을 증명,

2. 적분판정법

: 함수 f가 0보다 큰 실수범위에서 정의되고, 0보다 크거나 같으며, 단조 감소일 경우,

$a_n = f(n)$인 수열 {$a_n$}의 무한급수가 수렴할 필요충분조건은

특이적분 $ \int_{n=1}^\infty f(x)dx$가 수렴

3. p - 급수 판정 법

: 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$은 p > 1일 때 수렴하고 $ p \leq 1$일때 발산

4. 비율 판정법

: 양항급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$에 대하여 비율의 극한 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n + 1}{a_n} = c$가 존재할 때, 다음이 성립한다.

4-1 ) c <1 이면 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 은 수렴

4-2 ) c > 1 이면 $\sum_{n=1}^\infty a_n$은 발산

4-3) c = 1 이면 수렴성을 알수 없음

5. 교대 급수

: 임의의 k 에 대하여 $a_k \leq a_{k+1}$ 을 만족하는 수열 {$a_n$}을 교대수열이라고하며, 교대수열의 무한급수를 교대급수라고 한다. 단조감소 하는양항수열 $a_n$에 대하여

교대급수 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n$이 수렴할 필요충분조건은 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

즉 진동하는 급수중 수렴하는경우이다. 추가적으로 절대수렴급수로 절대값을 씌운 수열이 수렴하면 절대값이 없는 수열도 수렴한다

함수 극한의 정의

: 함수 y = f(x)에서 x가 a와 다른값을 취하면서 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 b로 한없이 가까이 감

$\lim_{x \to a}f(x) = b$ 또는 x -> a 일 때 f(x) -> b

- 좌극한과 우극한이 같을 때만 극한값이 존재 함