부울함수의 간소화(2)

 

 

무관조건?

 

부울함수에서 무관조건을 나타내는 방법은 다양합니다.

일반적으로 무관조건은 입력 변수 중 일부가 결과에 영향을 미치지 않는 경우를 말합니다.

이러한 경우에는 해당 입력 변수가 0 또는 1이어도 결과에는 영향을 주지 않습니다.

 

가장 일반적인 방법은 무관조건 변수를 제외한 모든 입력 변수를 포함하는 논리식을 만드는 것입니다.

 

예를 들어, 3개의 입력 변수 A, B, C가 있고 A가 무관조건 변수인 경우, 논리식은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

 

F = B*C + B'*C'

여기서 B'와 C'는 각각 B와 C의 부정을 나타내는 것입니다.

 

또 다른 방법은 무관조건 변수를 입력으로 받지 않는 새로운 부울함수를 만드는 것입니다.

 

이 새로운 함수는 원래 함수와 무관조 변수를 제외한 모든 입력 변수가 동일한 출력 값을 가집니다.

 

예를 들어, 3개의 입력 변수 A, B, C가 있고 A가 무관조 변수인 경우, 새로운 함수는 다음과 같이 정의될 수 있습니다.

 

G = B*C' + B'*C

 

이렇게 함으로써, G는 A에 대해 무관조 함수가 되며, 원래 함수에서 A를 제외한 나머지 변수들에 대해서는 동일한 출력 값을 가집니다.

 

무관조건을 카르노 도표에서 사용하는 방법을 알아보자.

 

카르노 도표에서 무관조건은 X로 표시합니다. 

 

주어진 부울함수로 부터 사각형에 각각의 함숫값을 기입하고 인접관계를 이용하여 함숫값이 1이거나 X 또는 0이거나 X인 큰 항으로 묶어보자.

 

X를 마치 1이나 0인 것처럼 취급하여 인접사각형을 묶을 수 있다는 것입니다. 

 

무관조건을 사용할 수 있는 경우 사용하여 더욱 간소화할 수 있습니다.

 

카르노 도표를 사용한 XOR 게이트 최적화

XOR 게이트를 카르노 도표를 사용하여 최적화할 수 있습니다. 카르노 도표를 사용하면 입력 변수를 조합하여 출력을 얻을 수 있는 모든 가능한 경우를 표시할 수 있습니다.

 

이를 통해 최적화할 수 있는 회로를 더 쉽게 파악할 수 있습니다.

 

다음은 XOR 게이트를 위한 카르노 도표입니다. 각 셀은 입력 변수의 조합을 나타냅니다.

 

도표를 사용하여 최적화된 XOR 게이트를 만들 수 있습니다.

 

 

모든 부울함수는 AND, OR, NOT 게이트로 모든 회로도가 구현이 될 수 있다. 

 

그러나 실제회로는 NAND 게이트로만 구현하거나 NOR 게이트로만 구현합니다.

 

그 이유는 NAND, NOR 게이트가 전자회로로 제작이 용이하고 회로 구성이 동일 게이트로 구성되는 것이 유리하기 때문이다.

 

 

 

NAND 게이트를 이용한 논리회로 구현

NAND 게이트는 입력값이 모두 1일 때 출력값이 0이 되고, 나머지 경우에는 출력값이 1이 됩니다. 이 특징을 이용하여 AND, OR, NOT 게이트를 구현할 수 있습니다.

 

말로 풀어보면 다음과 같습니다.

 

부울함수를 간소화하여 곱의 합 형태로 표현합니다.

 

2개 이상의 입력들의 곱창을 NAND 게이트로 나타내고, 하나의 입력의 곱항은 NOT 게이트로 나타낸다.

 

이후 출력을 AND-NOT 혹은 NOT-OR 형태를 사용하여 게이트를 그립니다.

 

모든 AND 게이트는 AND-NOT으로 모든 OR 게이트는 NOT -OR로 변환하고 모든 작은 원을 점검하여 동일 선상의 두 원은 서로 상쇄시키고, 상쇄되지 않은 원은 NOT을 추가시키거나, 입력변수에 보수를 취한다.

 

예를 들어, 두 개의 입력값을 받는 AND 게이트는 NAND 게이트를 두 번 연결하고, 마지막에 연결된 NAND 게이트의 출력값에 NOT 게이트를 적용하면 됩니다.

NOR 게이트를 이용한 논리회로 구현

NOR 게이트는 입력값이 모두 0일 때 출력값이 1이 되고, 나머지 경우에는 출력값이 0이 됩니다. 이 특징을 이용하여 AND, OR, NOT 게이트를 구현할 수 있습니다.

 

예를 들어, 두 개의 입력값을 받는 OR 게이트는 NOR 게이트를 두 번 연결하고, 마지막에 연결된 NOR 게이트의 출력값에 NOT 게이트를 적용하면 됩니다.

NAND와 NOR 게이트를 이용한 논리회로 구현 비교

NAND와 NOR 게이트를 이용하여 논리회로를 구현하는 방법은 각각의 게이트의 특징을 이용하여 다양한 논리회로를 구현할 수 있습니다.

그러나 NAND 게이트를 이용한 논리회로는 NOR 게이트를 이용한 논리회로보다 더 많은 NAND 게이트를 사용해야 하기 때문에 회로를 구성하는 데 더 많은 비용이 들 수 있습니다.