수학

집합

oncerun 2021. 9. 20. 19:55
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독일의 수학자 (G. Cantor) 칸토어가 정립한 집합의 개념은 현대수학의 모든 분야에서 중요한 기초가 되고있다.

 

집합이란 각각이 서로 고유하게 식별자가 존재하는원소들을 정의하여 전체로 묶는 것이라고 할 수있으며,

 

a가 집합 A의 원소라는것을 표현하기 위한 기호로는 다음과 같이 작성한다.

 

$a \in A$ 

 

집합을 나타내는 방법에는 두 가지가 존재한다.

 

1. 원소나열법

 - 집합의 원소에 속하는모든원소를나열하여 표시하는 방법으로 예를 들어 A = {1,2,3,4...} 등이 있다.

 

2. 조건제시법

 - 원소가 만족하는 조건이나 관계식으로 표현한다. 예를 들면 A  = {x | x는 자연수}

 

부분집합 (Subset)

 

집합 B에 속한 모든 원소들이 집합 A에 속할 때 $ x \in B ,이면 x \in A$ 이다.

 

진부분집합이라는 개념도있는데, $ x \in B, x \in A 이면서 A \neq B 일때$ 집합 B는 집합 A의 진부분집합이라고 한다.

 

 

* Universal set : 가장 커다란집합, 모집합이라고 하며 기호로는 U로 표현한다.

* Empty set : 모집합의 반대 개념으로 한개의 원소도 포함되지 않는 집합들이며 공집합이라고 한다

기호로는 $\emptyset$ 으로 표현한다.

 

Venn Diagram

 

- 집합들 사이의 관계를 그림으로 표현하여 시각적으로 파악할 수 있다.

 

 

원소의 수와 고전적 확률

 

 

1. 원소의 수

 - 유한집합 원소의 개수르는 집합을 A라 했을 경우 기호 n(A)라고나타낸다.

 예를들어 $n(A \cup B)$ = n(A) + n(B)  - $n(A \cap B)$ 이다. 벤다이어그램을 통하면 더욱 빠르게 알 수있다.

- 순서쌍(Ordered Pair)과 곱집합 (Cartesion Product)이란 임의의 실수 a,b를 짝을 지어표현한 것을 순서쌍이라고 하고, 집합 A와 B의 모든 순서쌍집합 A,B가 주어졌을 때 (a,b)의 집합을 곱집합이라고하며 다음같이 표현한다.

 

A X B = {(a,b) |  $a \subset A$ , $b \subset b$

A = B 일경우 $A^2$와 동일하다

n(A X B) = n(A)n(B)

 

이 카티시안곱은 데이터베이스 테이블의 임의에 데이터를 임시로 생성할 경우 사용하기도하는데 조인조건에 조건을 주지않아 데이터 테이블의 모든 행들이 곱집합으로 표현된다.

 

 

2. 고전적확률

 

 표본공간(Sample Space)와 사건(event)

- 표본공간은 통계적 실험에서 발생가능한 모든 결과 집합이며, 사건은 표본공간의 부분집합이다.

사건 A가 발생할 고전적의미의 확률을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

 

P(A) = $사건A에 속하는원소의개수 \over 표본공간의 전체 원소개수 $ 

 

 

 

* 정리

  1. 집합은 각각이 서로 명확하게 구분되어 있는 원소들을 정의하여 전체로 묶은 것이다.
  2. 집합은 여집합 : $A^c$ = { x∈U l x∈A 또는 x∈B }
    합집합 : A∪B = { x∈U l x∈A 또는 x∈B }
    교집합 : A∩B = { x∈U l x∈A 그리고 x∈B }
    차집합 : A - B = { x∈U l x∈A 그리고 x∈ $B^c$ }
    등을 정의할 수 있다.
  3. 분배법칙 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
    A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
  4. 드모르간 법칙 (A∪B)c  = Ac ∩ Bc(A∩B)c = Ac ∪ Bc
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